Lanjutan Matriks

Sistem Persamaan Linear Eliminasi Gauss/Eliminasi Gauss Jordan

A. Eliminasi Gauss
 
Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Contoh Soal :
Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
1 2 1 6
1 3 2 9
2 1 2 12

Operasikan Matriks nya:
1 2 1 6
0 1 1 3
2 1 2 1        Bariss ke-2 dikurangi baris ke-1

1 2 1 6
0 1 1 3
0 -3 0 0       Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-

1 1 1 6
0 1 1 3
0 0 3 9       Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2
 
1 2 1 6
0 1 1 3
0 0 1 3         Baris ke-3 dibagi dengan 3
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Kelebihan dan Kekurangan

Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap Keuntungan :
– menentukan apakah sistem konsisten
– menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka
– lebih mudah untuk memecahkan
kelemahan :
– memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal

     2. Eliminasi Gauss-Jordan

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887. Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form). Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat
Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas. Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhanalagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah
1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi
Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien- koefisien dari sistem persamaan linier.Sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

1.Menukar posisi dari 2 baris.
Ai ↔Aj

2.Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.
Ai = k*Aj

3.Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:
1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n
2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A
3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :
Bila ya :
pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan

4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n
Contoh soal:
1. Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
1 2 3 3
0 -1 -4 -3
0 -3 -4 -1    Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1

1 2 3 3
0 -1 -4 -4
0 0 8 8      Baris ke-3 dikurangi 3 kali baris ke-2

1 2 3 3
0 1 4 3
0 0 1 1 Baris ke-3 dibagi 8 dan baris ke-2 dibagi -1

1 2 3 3
0 1 0 -1
0 0 1 1 Baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-3

1 2 0 0
0 1 0 -1
0 0 1 1 Baris ke-1 dikurangi 3 kali baris ke-3

1 0 0 2
0 1 0 -1
0 0 1 1 Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

Kelebihan dan Keuntungan :

Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan matriks invers.




Sumber : blog.ub.ac.id

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Matriks dan Transformasi Linear

Gambar
Determinan Matriks Determinan suatu matriks adalah suatu fungsi skalar dengan domain matriks bujur sangkar. Dengan kata lain, determinan merupakan pemetaan dengan domain berupa matriks   bujur sangkar, sementara kodomain berupa suatu nilai skalar. Determinan suatu matriks sering digunakan dalam menganalisa suatu matriks, seperti : untuk memeriksa keberadaan invers matriks, menentukan solusi sistem persamaan linear dengan aturan cramer, pemeriksaan basis suatu ruang vektor dan lain- lain. Pada bab ini akan dijelaskan tentang penentuan nilai determinan suatu matriks dengan menggunakan definisi (permutasi), operasi baris elementer dan ekspansi kofaktor. Selain itu, akan dijelaskan hubungan determinan dengan invers matriks Misalkan : Permutasi dan Definisi Determinan Matriks Permutasi merupakan cabang ilmukombinatorik, pada kurikulum SMA pun telah diperkenalkan definisi permutasi.   Permutasi merupakan susunan yang mungkin dibuat dengan memperhat...
Baca selengkapnya

Penggunaan Fungsi Matriks dalam Microsoft Office Excel Sebagai Media Pembelajaran Matematika

Gambar
   I. Pendahuluan       Di zaman sekarang ini sungguh sangat  pesat perkembangan teknologi komputer, dan banyak  manfaat komputer telah dirasakan di berbagai sektor kehidupan. Dalam sektor pendidikan misalnya, pemanfaatan komputer sudah berkembang tidak hanya sebagai alat yang hanya dipergunakan untuk urusan keadministrasian saja, melainkan juga digunakan sebagai salah satu alternatif dalam pemilihan media pembelajaran. Hal ini perlu ditanggapi secara positif oleh guru ataupun dosen sehingga komputer dapat menjadi salah satu media yang dapat membantu dalam mengoptimalkan pembelajaran. Salah satu program komputer  yang bisa digunakan sebagai media pembelajaran adalah Microsoft  Office Excel. Khususnya penggunaan Microsoft  Office Excel sebagai media pembelajaran dalam bidang matematika. Ada banyak fungsi yang disediakan Microsoft  Office Excel yang dapat dimanfaatkan sebagai media pembelajaran matematika diantaranya adalah: ...
Baca selengkapnya