Determinan Matriks

Determinan suatu matriks adalah suatu fungsi skalar dengan domain matriks bujur sangkar. Dengan kata lain, determinan merupakan pemetaan dengan domain berupa matriks bujur sangkar, sementara kodomain berupa suatu nilai skalar. Determinan suatu matriks sering digunakan dalam menganalisa suatu matriks, seperti : untuk memeriksa keberadaan invers matriks, menentukan solusi sistem persamaan linear dengan aturan cramer, pemeriksaan basis suatu ruang vektor dan lain- lain. Pada bab ini akan dijelaskan tentang penentuan nilai determinan suatu matriks dengan menggunakan definisi (permutasi), operasi baris elementer dan ekspansi kofaktor. Selain itu, akan dijelaskan hubungan determinan dengan invers matriks Misalkan :

Permutasi dan Definisi Determinan Matriks

Permutasi merupakan cabang ilmukombinatorik, pada kurikulum SMA pun telah diperkenalkan definisi permutasi.

Permutasi merupakan susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan.

Contoh 2.1 :

Permutasi dari {1, 2, 3} adalah

(1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

Selanjutnya diperkenalkan definisi invers dalam permutasi, yaitu jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi. Misalkan dalam suatu

permutasi tertulis (2, 1, 3) maka dalam urutan bilangan tersebut, bilangan yang lebih kecil dari 2 hanya bilangan 1 sehingga nilai inversnya adalah 1. Sementara itu, setelah bilangan 1 hanaya ada bilangan 3, tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 1 sehingga

inversnya adalah nol. Jumlah invers dalam permutasi tersebut

adalah 1 + 0 = 1. Selanjutnya, jumlah invers pada suatu permutasi akan didefinisikan sebagai berikut :

• Permutasi genap yaitu jumlah invers adalah bilangan genap

• Permutasi ganjil yaitu jumlah invers adalah bilangan ganjil

Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 2.2

Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3}

(1,2,3) Æ 0 + 0 = 0 Æ permutasi genap

(1,3,2) Æ 0 + 1 = 1 Æ permutasi ganjil

(2,1,3) Æ 1 + 0 = 1 Æ permutasi ganjil

(2,3,1) Æ 1 + 1 = 2 Æ permutasi genap

(3,1,2) Æ 2 + 0 = 2 Æ permutasi genap

(3,2,1) Æ 2 + 1 = 3 Æ permutasi ganjil

Misalkan Anxn, hasil kali elementer matriks A adalah hasil kali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris maupun kolom yang sama. Selanjutnya hasil kali elementer

tersebut diberi tanda positif (+) atau negatif (–), sehingga dinamakan hasil kali elementer bertanda. Pemberian tanda tersebut sangat bergantung pada jenis permutasi yang terbentuk (ganjil atau genap), jika permutasi genap maka tanda yang digunakan adalah positif (+), sedangkan jika permutasi ganjil

maka tanda yang digunakan adalah negatif (–). Sementara itu, permutasi genap atau ganjil bergantung pada indeks indeks

kolom unsur matriks A, yang akan membentuk suatu himpunan permutasi. Misalkan, perkalian unsur matriks a12 a21 a33 akan diberi

tanda negatif (–), karena himpunan permutasi yang terbentuk dari indeks kolom adalah {2, 1, 3}. Dari permutasi tersebut jumlah

invers yang diperoleh adalah 1 + 0 = 1, sehingga tanda dari hasilkali elementer unsur tersebut adalah negatif (–), yaitu –a12a21a33. Selanjutnya, determinan suatu matriks Anxn adalah hasil penjumlahan seluruh hasilkali elementer bertanda matriks A

tersebut. Agar memperoleh pemahaman yang lebih jelas, perhatikan contoh dibawah ini.

Menghitung Determinan dengan OBE

Saat masih di bangku SMA, telah diajarkan dalam menentukan determinan suatu matriks. Perhatikan beberapa matriks berikut ini :

Secara sederhana, determinan suatu matriks merupakan hasil kali setiap unsur diagonal pada suatu matriks segitiga (atas

atau bawah). Tetapi dalam kenyataannya, tak semua matriks berbentuk segitiga, sehingga kita dapat menentukan tak semudah

diatas. Dalam menentukan determinan suatu matriks. Dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE), kita akan mencoba

merubah suatu matriks bujur sangkar (secara umum) menjadi suatu matriks segi tiga. Secara sederhana, gambaran proses yang

dilakuakn adlah sebagai berikut :

Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga. Alasan inilah yang mengharuskan kita mengetahui pengaruh

operasi baris elementer terhadap determinan suatu matriks. Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu

matriks, yaitu :

1) Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka :

Det (B) = - Det (A)

Perhatikan bahwa B merupakan matriks yang

berasal dari A dengan menukarkan baris pertama dan baris ke-2. Jelas bahwa det (B) = –1 – 2 = – 3 = – |A|

2) Jika B berasal dari A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k maka Det (B) = k . Det (A)

3) Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Det (B) = Det (A)